- 选题背景和意义：
有限元分析是一种将物体划分为相互作用的单元从而对真实的物理系统进行模拟的数值技术。该方法最早提出于1943年，经过了多年的发展和完善，已经形成了一套较为完善的理论。有限元方法不仅得到的结果精度高，并且能适应各种复杂的形状，已经成为了现在工程分析的一种重要手段。随着有限元的发展，出现了许多有限元软件，如ANSYS、Abaqus等。这些有限元软件作为商业软件，其集成化较高，适用于处理一些比较普遍的、简单的、共性化的问题。而对于特殊的、复杂的、个性化的问题，集成化的商业有限元软件计算时会比较困难。但随着科技水平与工业制造要求的提高，未来个性化的问题会愈来愈多，因而编写更为具体的个性化计算程序就尤为重要。
在进行有限元分析时，我们通常要处理许多矩阵数据。而Matlab作为一种以矩阵为基本单位的语言，在编写有限元程序时能够大大减少工作量，提高编程效率。同时，力学班在学习计算力学这门课程时，也曾使用过Matlab进行简单有限元编程，具有一定基础。因此，将Matlab作为本课题的编程软件。
本课题的目的是通过研究梁杆单元有限元的前处理技术，编写相应的程序。该程序应能读取已划分好网格的模型的相应数据，并生成各梁杆单元的单刚，整体模型的总刚和节点载荷列阵。
- 课题关键问题及难点：
- 由于该程序并没有划分网格的功能，所以要选用其他软件作为网格划分的前处理软件。那么软件的选择就要满足两个要求：1.能根据使用者的需要灵活地划分网格；2.能够将划分好的模型的数据输出至Matlab。
- 单元类型的选择在有限元分析中很重要。针对该程序，所选择的单元既要使得所得的结果有一定精度，同时也要具有可行性，即不能让分析过程过于复杂而导致编程难以下手。
- 本课题要求所编写的程序具有普适性，那么在有限元分析的过程中能够一定会遇到大型矩阵，虽然已经有了该方面的存储和计算方法，但在实际操作过程中一定会遇到各种各样的问题。
- 文献综述（或调研报告）：
梁理论有欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁两种理论。两者都假定梁在变形前垂直于轴线的平面，在变形后保持为平面并且仍然垂直于轴线。但前者忽略了剪切变形对梁的影响，而铁木辛柯梁在进行计算时是考虑剪切变形的。我们在材料力学中学习的梁就是欧拉-伯努利梁，即经典梁。
梁单元受力情况有拉压、扭转、弯曲三种，由于这三种受力情况是非耦合的，所以在计算单元刚度矩阵时可以分开进行计算，最后再把计算结果合并，这可以使计算过程更为简单。
在计算有限元单元刚度矩阵时，第一步要选择合适的位移模式或者说形函数。形函数是有限元法中一个重要的概念。通过形函数，我们可以将单元内部任意一点的位移用节点位移来表示，还能将作用在单元上的荷载等效为节点载荷，在等参单元中，它还能起到坐标变换的作用。根据单元类型的不同，需要选择不同的形函数，形函数的选择会影响最后的计算结果。许多有限元方面的书籍在针对拉压和扭转问题时采用的是拉格朗日形函数，而对弯曲问题采用厄米特形函数。这也是ANSYS软件中Beam 4单元针对该类问题采取的方法。
在矩阵位移法中，通过分析单元上的节点力和节点位移的关系得出单刚。而在有限元法中，单元被赋予形函数后，则是通过虚功原理或势能极小原理来推导出单刚。虽然两者是等价的，根据这两个原理推导出的结果是一致的，但在推导方式上存在不同。相较于势能极小原理，采用虚功原理的推导过程更易于理解。根据虚功原理，在任意给出的节点虚位移下，单元节点力（外力）及内力所做的虚功之和应等于零。通过这一原理，就可以形成相应等式，而又由于虚位移是任意的，所以可以消去，这样就能得到单元的刚度矩阵。
随着工程技术的发展，在许多领域中，越来越多的变截面梁得到了广泛应用。比如在桥梁建造中，为了使得结构内力变化更加合理，会加大支座附近的梁高同时减小跨中的梁高。但是相较于等截面梁，变截面梁的在进行有限元分析时会更加复杂。为了达到精度的要求，在对结构离散化时就需要划分更多的单元数。许多桥梁计算软件在对变截面梁进行分析时，由于理论和近似方法的差异，会出现结果不统一的情况。陈伟平,肖承初从简单、直观的力法推导了常规变截面梁的形函数, 并以此获得欧拉梁的单元刚度矩阵。计算结果表明，该方法收敛速度快且得到的结果精准度较高, 可以将这种单元编入相关的有限元程序中，简化变截面梁的有限元分析。
在实际工程中，划分后的单元不一定是共轴线的，所以在局部坐标系中求得单元刚度矩阵之后需要进行相应的旋转变换才能在整体坐标系中叠加为总刚。陈小亮，杜飞鹏提出了一种整体坐标系下杆单元刚度矩阵的直接推导法。但将该方法应用至梁单元中时只能解决拉压时的情况，并不能有效解决相应问题。
参考文献：
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