矩阵秩的研究及应用
摘 要：矩阵的秩是高等代数中极为重要的一块内容，非常具有研究意义，在考研题型上也有着广泛的应用。本文从矩阵秩在国内外数学界的研究背景开始，将相关文献分为三类，分别为矩阵秩的相关性质、矩阵秩的求解方法、矩阵秩的相关应用，来阐述矩阵秩的研究和应用。最后进行整理与总结。
关键词：矩阵；秩；应用
一、引言
- 研究目的
矩阵是高等代数中极为重要的内容，很多高等代数的问题都可以用矩阵的知识来解决，矩阵不仅仅作为一个数学工具，它还有好多性质值得研究并应用于其他方面。而在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，具有非常重要的理论意义和应用价值，它描述了矩阵的一个数值特征，表现出一个矩阵的固有性质。矩阵的秩在判定线性相关性，线性方程组的解，矩阵特征值，矩阵初等变换，二次型正定等方面都有广泛的应用，因此矩阵秩的内容涉及范围较广，形式多样，在考研题型中，有一部分题型可以直接应用矩阵秩的知识点，而还有一些题型不易直接看出与秩相关，但可以间接的通过矩阵的秩来解决。这类题型也是考研同学们密切关注的，需要把握好矩阵秩的理论体系，并灵活运用。所以本文将对矩阵秩进行研究，并将矩阵秩在考研题型上的应用进行梳理、分类和归纳。
- 研究背景
矩阵的秩作为一个主要的研究对象，国内外对其研究作出了巨大的贡献。矩阵这一术语首先由英国数学家凯莱明确其概念的，作为矩阵理论的创立者，系统的阐述了矩阵理论体系，在矩阵论中定义了矩阵的秩，初等因子，矩阵初等变换等概念，将离散的矩阵发展成系统的矩阵体系。后来德国数学家弗罗伯纽斯引入了lambda;矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子等概念，在凯莱的基础上，引入了正交矩阵和矩阵的相似变换等概念，讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质，使得矩阵的知识体系更加系统。
在国内，也有许多知名学者进行研究，例如张贤达《矩阵分析与应用》将矩阵分析分为五大部分，分别为梯度分析，奇异值分析，特征分析，子空间分析，投影分析，全面系统的介绍了矩阵分析的主要理论，主要方法和应用。蒋正新和施国梁编著的《矩阵理论及其应用》阐述了常用的矩阵理论和方法，列举了它们在数值分析，最优化，控制论，随机过程及微分方程等方面的应用。戴华《矩阵论》全面系统的介绍了矩阵理论的基本理论，方法和某些应用。这些著作都对于国内研究矩阵作出了巨大的贡献，对于矩阵的秩及其相关理论都有着系统的说明。
国内外系统全面的研究了矩阵的秩，它在高等代数中扮演着不可或缺的角色，是高等代数一个极其重要的组成部分，矩阵的秩在高等代数其他部分也有着重要的应用，很多知识体系需要用到秩的知识，它的引入为解决某些数学问题提供了新的探索路径和方法，在判定线性相关性，二次型正定，线性方程组的解，矩阵特征值，矩阵初等变换，多项式，空间几何等方面都有广泛的应用。在解析几何中，矩阵的秩可以可以判断空间中直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的关系。在控制论中，矩阵的秩可以确定线性系统是否可控制，或可观察。总而言之，矩阵的秩应用广泛，不仅仅在高等代数中有着重要的地位和显著的作用，在其他课程论中也体现着它的地位与作用，需要我们认真学习。
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