- 选题背景和意义：
Finsler 几何是Riemann 几何的自然推广. 它推广的是Riemann几何定义曲线长度，也就是定义距离的方式. 随着物理学的发展，广义相对论的提出, 单纯的黎曼几何已经不能满足其他学科研究的需要，这就促进了Finsler几何的进步. 我们知道，曲线长度的定义方式是曲线的切向量的“范数”的积分.“范数”是最简单的情况，也就是只和点有关的“内积”的时候，它就是Riemann 几何；而当它是一般的范数时，它就是Finsler几何.
但是具体处理这些概念和问题的时候，Finsler几何要比Riemann 几何繁杂得多. Finsler几何下的几何量基本上都会和“方向”有关。这将导致一些和Riemann几何下完全不一样的情况，比如A到B的测地线不再一定是B到A的测地线。
而Ricci曲率作为截面曲率的“平均”，蕴含了流形在这点各个方向的信息，而且作为一个二阶张量，它可以由矩阵表示. 所以Ricci曲率在Riemann几何和Finsler几何之中的重要性不言而喻.
- 文献综述（或调研报告）：
最早在[11]中，Gregorio Ricci-Curbastro就提出了Ricci张量的概念. 在[1]中，运用曲率算子线性变换的迹定义了Ricci曲率，Do Carmo则是直接用截面曲率的线性组合定义了在某点沿某个方向的Ricci曲率，[4]则使用了spray几何的语言描述了Ricci曲率.
Ricci曲率有着很好的几何意义. 对于黎曼流形（M,g)里任意一点p的旁边可以定义被称为测地法坐标系的局部坐标系.这些通过p的测地线不但都对应着通过原点的直线，而且同时构成了从p的距离和从原点的欧几里得距离的对应. 好处就是，此坐标是欧几里得度量的良好近似。实际上，由于在法坐标系的放射测地线产生的雅可比场适用的度量的泰勒展开，然后，在这个坐标系，在p可以得到以下体积元素的展开的方向是正的，由于在M上从p向方向的短的测地线收束族扫过的圆锥区域的体积比在欧几里得空间对应的圆锥区域要小。如此类推，如果Ricci曲率在给定的向量的方向是负的，流形同样的圆锥区域的体积比欧几里得空间对应的圆锥区域要大. Ricci曲率本质上就是包含的平面的曲率平均。也就是说最初是圆形（或者是球形）放射状的圆锥会扭曲未椭圆形状，沿着主轴的弯曲是相互相反的作用，而且有把体积变为零的可能性。Ricci曲率沿着会变为零. 在物理的应用，一定要变零的切断曲率的存在并不一定是局部性一定有什么质量. 世界线圆锥最初的圆形的横切面是，要是变成了后来体积没变化的椭圆，这个效果就是来自其他位置的质量的潮汐效果。
[1] 陈维桓. 微分流形初步（第二版）[M]. 高等教育出版社，2001. 173-260
[2] 沈一兵，沈忠民. 现代芬斯勒几何初步[M]. 高等教育出版社，2013. 35-104
[3] 白正国，沈一兵，水乃翔，郭孝英. 黎曼几何初步（修订版）[M].高等教育出版社，2003. 110-200
[3] Allen Hatcher. Algebraic Topology[M]. Cambridge Univesity Press, 2002. 97-230
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